Формула сложения вероятностей для независимых событий. Вероятность

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событийминус вероятность их пересечения: .

Доказательство. Очевидно: ;

Поскольку события и несовместны, то по аксиоме :

События и несовместны, и по аксиоме :

События и несовместны, по аксиоме :

Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:

Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для слагаемых:

Формула включений и исключений.

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называетсязависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Условная вероятность

Наступление события может повлиять на вероятность появления события . Для учета таких случаев вводится понятие условной вероятности события .

Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

Пример. Пусть событие - означает, что при бросании двух кубиков на первом выпала 1, а событие - означает, что сумма очков, выпавших на двух костях больше 5. Найти вероятность .

Решение. Если на первом кубике выпала 1, то возможными исходами опыта являются исходы . Событию при этом благоприятствуют исходы , т.е. два из 6, значит,

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов. Пусть:

 событие появилось в исходах опыта;

 событие появилось в исходах опыта.

Вероятность события вычислим по классическому определению. Поскольку событие произошло, то всего возможных в этом случае исходов - ; при этом из этих возможных исходов благоприятны событию те исходы, которые составляют событие , т.е. исходов: ,

Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:

Следствие 2. Обобщим теорему на случай событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились: .

Пример. В группе 20 студентов. Из них двое курят, 12 – в очках, 6 – курят и носят очки. Найти вероятность того, что студент курит, если он носит очки.

Решение. Пусть событие - студент курит; - студент носит очки.

Тогда .

Заметим, что условная и безусловная вероятности события в данной задаче различны: .

События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого: .

Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид:

Критерий независимости событий.

В рассмотренном примере события и - зависимы, поскольку

3) Если события и независимы, то по 2) события и независимы; и по 1) и независимы.

Определение. События независимы в совокупности, если

Определение. События попарно независимы, если в любой паре события и независимы.

Независимость в совокупности и попарная независимость событий – понятия разные.

Пример. Три грани треугольной пирамиды окрашены соответственно в белый, зеленый, желтый цвета. На последней грани присутствуют все три цвета. Случайным образом выбирают грань. Найти вероятности событий: =«на грани есть желтый цвет»;

=«на грани есть белый цвет»;

=«на грани есть зеленый цвет»;

Решение. Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т.о. ; аналогично: . Вероятность того, что на выпавшей грани есть два цвета - , т.е. . Таким образом,

,

Т.е. все события попарно независимы. Однако события не являются независимыми в совокупности:

Теорема. (О появлении хотя бы одного из независимых событий)

Пусть вероятность появления каждого из п событий , независимых в совокупности, равна . Вероятность появления хотя бы одного события, равна

,

Доказательство. Поскольку по закону Де Моргана

Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая карта.

Решение. Пусть событие означает «среди четырех вынутых карт есть хотя бы одна бубновая карта». Тогда . Событие означает, что все четыре карты не бубновой масти. Вероятность того, что случайно взятая из колоды карта не бубновая - и , тогда ,

Пример. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

Если обозначить р – вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле, то вероятность промаха при одном выстреле, очевидно, равна (1 – р).

Вероятность трех промахов из трех выстрелов равна (1 – р)3. Эта вероятность равна 1 – 0,875 = 0,125, т.е. в цель не попадают ни одного раза.

Получаем:

Пример. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости (событие ) равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков (событие ) - . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна .

Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков, равна .

Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

Противоположные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают .

Если событие может произойти с вероятностью и опыт повторяют раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один раз, есть: , где .

Противоположные события.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

примеры противоположных событий

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).

З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

.

2. Выборочные числовые характеристики. Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам.

ее выборочное – среднее значение выборки

Выборочная дисперсия – среднее значение квадрата отклонения значений выборки от выборочного среднего.

Часто используют более простую формулу для вычисления выборочной дисперсии:

Исправленная выборочная дисперсия :

(является лучшей оценкой дисперсии генеральной совокупности)

Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S

Для расчёта числовых характеристик в случае интервального статистического ряда используется дискретный ряд, вариантами которого являются середины интервалов.

Точечная оценка и ее свойства

Распределение случайной величины (распределение генеральной совокупности) характеризуется обычно рядом числовых характеристик:

для нормального распределения N(a, σ) - это математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ ;

для равномерного распределения R(a,b) - это границы интервала , в котором наблюдаются значения этой случайной величины.

Такие числовые характеристики, как правило, неизвестные, называются параметрами генеральной совокупности. Оценка параметра - соответствующая числовая характеристика, рассчитанная по выборке. Оценки параметров генеральной совокупности делятся на два класса: точечные и интервальные.

Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость, эффективность и состоятельность.

Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Требования к оценкам

Точечная оценка параметра 6 связана с оценкой интервального типа [ 0Н, 6В ], где 6И - нижняя, а 0В - верхняя граница. Они дают некоторую степень уверенности в том, что истинное значение параметра лежит внутри определенного интервала.

Точечная оценка параметров может быть получена приравниванием выборочных моментов моментам совокупности.

Точечная оценка параметра 6 связана с оценкой интервального типа [ Э, 0В ], где 6Н - нижняя, а Эв - верхняя граница. Они дают некоторую степень уверенности в том, что истинное значение параметра лежит внутри определенного интервала.

Точечная оценка параметров без указания степени ее достоверности дает мало информации, так как представляет собой частное значение случайной величины.

Точечные оценки параметров аг к 0 ] определяются по вероятностной бумаге логарифмически нормального распределения аналогично рассмотренному выше нормальному распределению.

Если точечная оценка параметра а совпадает с серединой доверительного интервала о (& % ai) / 2, то ответ часто записывают в виде а о Ар, где Ар (а2 - c i) / 2 - половина длины доверительного интервала.

Найдены точечные оценки параметров для каждого из законов по каждой совокупности. Получены интервальные оценки изучаемых величин и их математических ожиданий. Это позволяет судить - о вариации как самих величин, так и их математических ожиданий в случае принятия той или ино & гипотезы о законе распределения рассматриваемого показателя.

Разобранные выше точечные оценки параметров распределения (математического ожидания и дисперсии) могут быть приняты в качестве первоначальных ориентировочных результатов обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой точностью они дают оцениваемый параметр. Если для большого числа наблюдений точность обычно бывает достаточной для практических выводов (в силу несмещенности, состоятельности и эффективности сделанных оценок), то для выборок небольшого объема вопрос о точности оценок очень существен.

За точечную оценку параметра в берут такое его значение в, при котором функция правдоподобия достигает максимума.

Под точечной оценкой параметра распределения понимают оценку одним числом. К точечным оценкам предъявляются следующие требования: состоятельность, несмещенность, эффективность, устойчивость, надежность, смысл и необходимость которых будут обсуждены ниже.

В качестве точечной оценки параметра р (вероятности) используют относительную частость hn k / n [ см. формулу (1.1) ], с которой k раз появилось событие А. }